Факторный анализ
Факторный анализ является одним из наиболее мощных статистических средств анализа данных. В его основе лежит процедура объединения групп коррелирующих друг с другом переменных («корреляционных плеяд» или «корреляционных узлов») в несколько факторов.
Иными словами, цель факторного анализа — сконцентрировать исходную информацию, выражая большое число рассматриваемых признаков через меньшее число более емких внутренних характеристик, которые, однако, не поддаются непосредственному измерению (и в этом смысле являются латентными).Для примера гипотетически представим себе законодательный орган регионального уровня, состоящий из 100 депутатов. В числе разных вопросов повестки дня на голосование выносятся: а) законопроект, предлагающий восстановить памятник В.И. Ленину на центральной площади города — административного центра региона; б) обращение к Президенту РФ с требованием вернуть в государственную собственность все стратегические производства. Матрица сопряженности показывает следующее распределение голосов депутатов:
Памятник Ленину (за) | Памятник Ленину (против) | |
Обращение к Президенту (за) | 49 | 4 |
Обращение к Президенту (против) | 6 | 41 |
Очевидно, что голосования статистически связаны: подавляющее большинство депутатов, поддерживающих идею восстановления памятника Ленину, поддерживают и возвращение в государственную собственность стратегических предприятий. Аналогичным образом большинство противников восстановления памятника являются в то же время и противниками возврата предприятий в госсобственность. При этом тематически голосования между собой совершенно не связаны.
Логично предположить, что выявленная статистическая связь обусловлена существованием некоторого скрытого (латентного) фактора. Законодатели, формулируя свою точку зрения по самым разнообразным вопросам, руководствуются ограниченным, небольшим набором политических позиций. В данном случае можно предположить наличие скрытого раскола депутатского корпуса по критерию поддержки/отвержения консервативно-социалистических ценностей. Выделяется группа «консерваторов» (согласно нашей таблице сопряженности — 49 депутатов) и их оппонентов (41 депутат). Выявив такие расколы, мы сможем описать большое число отдельных голосований через небольшое число факторов, которые являются латентными в том смысле, что мы не можем их обнаружить непосредственно: в нашем гипотетическом парламенте ни разу не проводилось голосование, в ходе которого депутатам предлагалось бы определить свое отношение к консервативно-социалистическим ценностям. Мы обнаруживаем наличие данного фактора, исходя из содержательного анализа количественных связей между переменными. Причем, если в нашем примере сознательно взяты номинальные переменные — поддержка законопроекта с категориями «за» (1) и «против» (0), — то в действительности факторный анализ эффективно обрабатывает интервальные данные.
Факторный анализ очень активно используется как в политической науке, так и в «соседних» социологии и психологии. Одна из важных причин большой востребованности данного метода состоит в разнообразии задач, которые можно решать с его помощью. Так, выделяются по крайней мере три «типовые» цели факторного анализа:
· уменьшение размерности (редукция) данных. Факторный анализ, выделяя узлы взаимосвязанных признаков и сводя их к неким обобщенным факторам, уменьшает исходный базис признаков описания. Решение этой задачи важно в ситуации, когда объекты измерены большим числом переменных и исследователь ищет способ сгруппировать их по смысловому признаку. Переход от множества переменных к нескольким факторам позволяет сделать описание более компактным, избавиться от малоинформативных и дублирующих переменных;
• выявление структуры объектов или признаков (классификация).
Эта задача близка к той, которая решается методом кластер-анализа. Но если кластер-анализ принимает за «координаты» объектов их значения по нескольким переменным, то факторный анализ определяет положение объекта относительно факторов (связанных групп переменных). Иными словами, с помощью факторного анализа можно оценить сходство и различие объектов в пространстве их корреляционных связей, или в факторном пространстве. Координатными осями факторного пространства выступают полученные латентные переменные, на эти оси проецируются рассматриваемые объекты, что позволяет создать наглядное геометрическое представление изучаемых данных, удобное для содержательной интерпретации;• косвенное измерение. Факторы, являясь латентными (эмпирически не наблюдаемыми), не поддаются непосредственному измерению. Однако факторный анализ позволяет не только выявить латентные переменные, но и оценить количественно их значение для каждого объекта.
Рассмотрим алгоритм и интерпретацию статистики факторного анализа на примере данных о результатах парламентских выборов в Рязанской области 1999 г. (общефедеральный округ). Для упрощения примера возьмем электоральную статистику только по тем партиям, которые преодолели 5%-ный барьер. Данные взяты в разрезе территориальных избирательных комиссий (по городам и районам области).
Первым шагом будет стандартизация данных путем перевода их в стандартные баллы (так называемые Л-баллы, рассчитываемые с помощью функции нормального распределения).
ТИК (территориальная избирательная комиссия) | «Яблоко» | «Единство» | Блок Жириновского (БЖ) | ОВР | КПРФ | СПС |
Ермишинская | 1,49 | 35,19 | 6,12 | 5,35 | 31,41 | 2,80 |
Захаровская | 2,74 | 18,33 | 7,41 | 11,41 | 31,59 | л б 3 " |
Кадомская | 1,09 | 29,61 | 8,36 | 5,53 | 35,87 | 1,94 |
Касимовская | 1,30 | 39,56 | 5,92 | 5,28 | 29,96 | 2,37 |
Касимовская городская | 3,28 | 39,41 | 5,65 | 6,14 | 24,66 | 4,61 |
То же в стандартизированных баллах (г-баллах) | ||||||
Ермишинская | -0,83 | 1,58 | -0,25 | -0,91 | -0,17 | -0,74 |
Захаровская | -0,22 | -1,16 | 0,97 | 0,44 | -0,14 | 0,43 |
Кадомская | -1,03 | 0,67 | 1,88 | -0,87 | 0,59 | -1,10 |
Касимовская | -0,93 | 2,29 | -0,44 | -0,92 | -0,42 | -0,92 |
Касимовская городская | 0,04 | 2,26 | -0,70 | -0,73 | -1,32 | 0,01 |
И т.д. (всего 32 случая) |
Далее на стандартизированных данных рассчитывается матрица парных корреляций (интеркорреляций):
«Яблоко» | «Единство» | БЖ | ОВР | КПРФ | СПС | |
«Яблоко» | ||||||
«Единство» | -0,55 | |||||
БЖ | -0,47 | 0,27 | ||||
ОВР | 0,60 | -0,72 | -0,47 | |||
КПРФ | -0,61 | 0,01 | 0,10 | -0,48 | ||
СПС | 0,94 | -0,45 | -0,39 | 0,52 | -0,67 |
Уже визуальный анализ матрицы парных корреляций позволяет сделать предположения о составе и характере корреляционных плеяд. К примеру, положительные корреляции обнаруживаются для «Союза правых сил», «Яблока» и блока «Отечество — вся Россия» (пары «Яблоко» - ОВР, «Яблоко» - СПС и ОВР - СПС). Одновременно эти три переменные отрицательно коррелируют с КПРФ (поддержка КПРФ), в меньшей степени — с «Единством» (поддержка «Единства») и в еще меньшей — с переменной БЖ (поддержка «Блока Жириновского»).
Таким образом, предположительно мы имеем две выраженные корреляционные плеяды:• («Яблоко» + ОВР + СПС) - КПРФ;
• («Яблоко» + ОВР + СПС) - «Единство».
Это две разные плеяды, а не одна, так как между «Единством» и КПРФ связи нет (0,01). Относительно переменной БЖ предположение сделать сложнее, здесь корреляционные связи менее выражены.
Чтобы проверить наши предположения, необходимо ВЫЧИСлить собственные значения факторов (eigenvalues), факторные значения (factor scores) и факторные нагрузки (factor loadings) для каждой переменной. Такие расчеты достаточно сложны, требуют серьезных навыков работы с матрицами, поэтому здесь мы не станем рассматривать вычислительный аспект. Скажем лишь, что эти вычисления могут осуществляться двумя путями: методом главных компонент (principal components) и методом главных факторов (principal factors). Метод главных компонент более распространен, статистические программы используют его «по умолчанию».
Остановимся на интерпретации собственных значений, факторных значений и факторных нагрузок.
Собственные значения факторов для нашего случая таковы:
Фактор | Собственное значение | % общей вариации |
1 | 3,52 | 58,75 |
2 | 1,14 | 19,08 |
3 | 0,76 | 12,64 |
4 | 0,49 | S.22 |
0,05 | 0.80 | |
6 | 0,03 | 0,51 |
Всего | 6 | 100% |
Чем больше собственное значение фактора, тем больше его объяснительная сила (максимальное значение равно количеству переменных, в нашем случае 6).
Одним из ключевых элементов статистики факторного анализа является показатель «% общей вариации» (% total variance). Он показывает, какую долю вариации (изменчивости) переменных объясняет извлеченный фактор. В нашем случае вес первого фактора превосходит вес всех остальных факторов, вместе взятых: он объясняет почти 59% общей вариации. Второй фактор объясняет 19% вариации, третий — 12,6% и т.д. по убывающей.Имея собственные значения факторов, мы можем приступить к решению задачи сокращения размерности данных. Редукция произойдет за счет исключения из модели факторов, обладающих наименьшей объяснительной силой. И здесь ключевой вопрос состоит в том, сколько факторов оставить в модели и какими критериями при этом руководствоваться. Так, явно лишними являются факторы 5 и 6, в совокупности объясняющие чуть более 1% всей вариации. А вот судьба факторов 3 и 4 уже не столь очевидна.
Как правило, в модели остаются факторы, собственное значение которых превышает единицу (критерий Кайзера). В нашем случае это факторы 1 и 2. Однако полезно проверить корректность удаления четырех факторов с помощью других критериев. Одним из наиболее широко используемых методов является анализ «графика осыпи» (scree plot). Для нашего случая он имеет вид:
График получил свое название из-за сходства со склоном горы. «Осыпь» — геологический термин, обозначающий обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона. «Скала» — это по-настоящему влиятельные факторы, «осыпь» — статистический шум. Образно говоря, нужно найти место на графике, где кончается «скала» и начинается «осыпь» (где убывание собственных значений слева направо сильно замедляется). В нашем случае выбор нужно сделать из первого и второго перегибов, соответствующих двум и четырем факторам. Оставив четыре фактора, мы получим очень высокую точность модели (более 98% общей вариации), но сделаем ее достаточно сложной. Оставив два фактора, мы будем иметь значительную необъясненную часть вариации (около 22%), но модель станет лаконичной и удобной в анализе (в частности, визуальном). Таким образом, в данном случае лучше пожертвовать некоторой долей точности в пользу компактности, оставив первый и второй факторы.
Проверить адекватность полученной модели можно с помощью специальных матриц воспроизведенных корреляций (reproduced correlations) и остаточных коэффициентов (residual correlations). Матрица воспроизведенных корреляций содержит коэффициенты, которые удалось восстановить по двум оставленным в модели факторам. Особое значение в ней имеет главная диагональ, на которой расположены общности переменных (в таблице выделены курсивом), которые показывают, насколько точно модель воспроизводит корреляцию переменной с той же переменной, которая должна составлять единицу.
Матрица остаточных коэффициентов содержит разность между исходным и воспроизведенным коэффициентами. Например, воспроизведенная корреляция между переменными СПС и «Яблоко» составляет 0,88, исходная - 0,94. Остаток = 0,94 - 0,88 = 0,06. Чем ниже значения остатков, тем выше качество модели.
Воспроизведенные корреляции | ||||||
«Яблоко» | «Единство» | БЖ | ОВР | КПРФ | СПС | |
«Яблоко» | 0,89 | |||||
«Единство» | -0,53 | 0,80 | ||||
БЖ | -0,47 | 0,59 | 0,44 | |||
ОВР | 0,73 | -0,72 | -0,56 | 0,76 | ||
КПРФ | -0,70 | 0,01 | 0,12 | -0,34 | 0,89 | |
СПС | 0,88 -0,43 | -0,40 | 0,66 | -0,77 | 0,88 | |
Остаточные коэффициенты | ||||||
«Яблоко» | «Единство» | БЖ | ОВР | КПРФ | СПС | |
«Яблоко» | 0,11 | |||||
«Единство» | -0,02 | 0,20 | ||||
БЖ | 0,00 | -0,31 | 0,56 | |||
ОВР | -0,13 | -0,01 | 0,09 | 0,24 | ||
КПРФ | 0,09 | 0,00 | -0,02 | -0,14 | 0,11 | |
СПС | 0,06 | -0,03 | 0,01 | -0,14 | 0,10 | 0,12 |
Как видно из матриц, двухфакторная модель, будучи в целом адекватной, плохо объясняет отдельные связи. Так, очень низкой является общность переменной БЖ (всего 0,56), слишком велико значение остаточного коэффициента связи БЖ и «Единства» (-0,31).
Теперь необходимо решить, насколько важным для данного конкретного исследования является адекватное представление переменной БЖ. Если важность высока (к примеру, если исследование посвящено анализу электората именно этой партии), корректно вернуться к четырехфакторной модели. Если нет, можно оставить два фактора.
Принимая во внимание учебный характер наших задач, оставим более простую модели.
Факторные нагрузки можно представить как коэффициенты корреляции каждой переменной с каждым из выявленных факторов 1ак, корреляция между значениями первой факторной переменной и значениями переменной «Яблоко» составляет -0,93. Все факторные нагрузки приводятся в матрице факторного отображения-
Переменные | Нагрузки на фактор 1 | Нагрузки на фактор 7 |
«Яблоко» | -0,93 | 0.14 |
«Единство» | 0,66 | 0.6 |
БЖ | 0,56 | 0.35 |
ОВР | bgcolor=white>-0,82-0 28 | |
КПРФ | 0,64 | -0,6 |
СПС | -0,89 | 0,27 |
Чем теснее связь переменной с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак факторной нагрузки указывает на прямую, а отрицательный знак — на обратную связь переменной с фактором.
Имея значения факторных нагрузок, мы можем построить геометрическое представление результатов факторного анализа. По оси X отложим нагрузки переменных на фактор 1, по оси Y— нагрузки переменных на фактор 2 и получим двухмерное факторное пространство.
Перед тем как приступить к содержательному анализу полученных результатов, осуществим еще одну операцию — вращение (rotation). Важность этой операции продиктована тем, что существует не один, а множество вариантов матрицы факторных нагрузок, в равной степени объясняющих связи переменных (матрицу интеркорреляций). Необходимо выбрать такое решение, которое проще интерпретировать содержательно. Таковым считается матрица нагрузок, в которой значения каждой переменной по каждому фактору максимизированы или минимизированы (приближены к единице или к нулю).
Рассмотрим схематичный пример. Имеется четыре объекта, расположенных в факторном пространстве следующим образом:
Нагрузки на оба фактора для всех объектов существенно отличны от нуля, и мы вынуждены привлекать оба фактора для интерпретации положения объектов. Но если «повернуть» всю конструкцию по часовой стрелке вокруг пересечения осей координат, получим следующую картинку:
В данном случае нагрузки на фактор 1 будут близки к нулю, а нагрузки на фактор 2 — к единице (принцип простой структуры). Соответственно, для содержательной интерпретации положения объектов мы будем привлекать только один фактор — фактор 2.
Существует довольно большое количество методов вращения факторов. Так, группа методов ортогонального вращения всегда сохраняет прямой угол между координатными осями. К таковым относятся vanmax (минимизирует количество переменных с высокой факторной нагрузкой), quartimax (минимизирует количество факторов, необходимых для объяснения переменной), equamax (сочетание двух предыдущих методов). Методы косоугольного вращения не обязательно сохраняют прямой угол между осями (например, direct obiimin). Метод promax представляет собой сочетание ортогонального и косоугольного методов вращения. В большинстве случаев используется метод vanmax, который дает хорошие результаты применительно и к большинству задач политических исследований. Кроме того, как и в процессе применения многих других методов, рекомендуется поэкспериментировать с различными техниками вращения.
В нашем примере после вращения методом varimax получаем следующую матрицу факторных нагрузок:
Переменные | Нагрузки на фактор 1 | Нагрузки на фактор 2 |
«Яблоко» | 0,77 | 0,55 |
«Единство» | -0,05 | -0.89 |
БЖ | -0,15 | -0.65 |
ОВР | 0,39 | 0.78 |
КПРФ | -0,94 | 0.04 |
СПС | 0,84 | 0,43 |
Соответственно, геометрическое представление факторного пространства будет иметь вид:
Теперь можно приступить к содержательной интерпретации полученных результатов. Ключевую оппозицию — электоральный раскол — по первому фактору формируют КПРФ с одной стороны и «Яблоко» и СПС (в меньшей степени ОВР) — с другой. Содержательно — исходя из специфики идеологических установок названных субъектов избирательного процесса — мы можем интерпретировать данное размежевание как «лево-правый» раскол, являющийся «классическим» для политической науки.
Оппозицию по фактору 2 формируют ОВР и «Единство». К последнему примыкает «Блок Жириновского», но достоверно судить о его положении в факторном пространстве мы не можем в силу особенностей модели, которая плохо объясняет связи именно этой переменной. Чтобы объяснить такую конфигурацию, необходимо вспомнить политические реалии избирательной кампании 1999 г. Тогда борьба внутри политической элиты привела к формированию двух эшелонов «партии власти» — блоков «Единство» и «Отечество — вся Россия». Различие между ними не носило идеологического характера: фактически населению предложили выбирать не из двух идейных платформ, а из двух элитных групп, каждая из которых располагала существенными властными ресурсами и региональной поддержкой. Таким образом, этот раскол можно интерпретировать как «властно-элитный» (или, несколько упрощая, «власть — оппозиция»).
В целом мы получаем геометрическое представление некоего электорального пространства Рязанской области для данных выборов, если понимать электоральное пространство как пространство электорального выбора, структуру ключевых политических альтернатив («расколов»). Комбинация именно этих двух расколов была очень типична для парламентских выборов 1999 г.
Сопоставляя результаты факторного анализа для одного и того же региона на разных выборах, мы можем судить о наличии преемственности в конфигурации пространства электорального выбора территории. К примеру, факторный анализ федеральных парламентских выборов (1995, 1999 и 2003 гг.), проходивших в Татарстане, показал устойчивую конфигурацию электорального пространства. Для выборов 1999 г. в модели оставлен всего один фактор с объяснительной силой 83% вариации, что сделало невозможным построение двухмерной диаграммы. В соответствующем столбце приведены факторные нагрузки.
Если внимательно присмотреться к этим результатам, можно заметить, что в республике от выборов к выборам воспроизводится один и тот же основной раскол: «"партия власти” — все остальные». «Партией власти» в 1995 г. выступал блок «Наш дом — Россия» (НДР), в 1999 г. — ОВР, в 2003 г. — «Единая Россия». С течением времени меняются лишь «детали» — название «партии власти». Новый политический «лейбл» очень легко ложится в статичную матрицу одномерного политического выбора.
В заключение главы дадим один практический совет. Успешность освоения статистических методов по большому счету возможна только при интенсивной практической работе со специальными программами (уже неоднократно упомянутые SPSS, Statistica или хотя бы Microsoft Excel). Не случайно изложение статистических техник ведется нами в режиме алгоритмов работы: это позволяет студенту самостоятельно пройти все стадии анализа, сидя за компьютером. Без попыток практического анализа реальных данных представление о возможностях статистических методов в политическом анализе неизбежно останется общим и абстрактным. А на сегодняшний день умение применять статистику для решения и теоретических, и прикладных задач — принципиально важная составляющая модели специалиста-политолога.
Контрольные вопросы и задания
1. Каким уровням измерения соответствуют средние величины — мода, медиана, среднее арифметическое? Какие меры вариации характерны для каждой из них?
2. В силу каких причин необходимо учитывать форму распределения переменных?
3. Что означает утверждение: «Между двумя переменными имеется статистическая связь»?
4. Какую полезную информацию о связях между переменными можно получить на основе анализа таблиц сопряженности?
5. Что можно узнать о связи между переменными, исходя из значений статистических критериев хи-квадрат и лямбда?
6. Дайте определение понятию «ошибка» в статистических исследованиях. Каким образом по данному показателю можно судить о качестве построенной статистической модели?
7. Какова основная цель корреляционного анализа? Какие характеристики статистической связи выявляет данный метод?
8. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?
9. Охарактеризуйте метод дисперсионного анализа. В каких других статистических методах используется статистика дисперсионного анализа и для чего?
10. Объясните значение понятия «нулевая гипотеза».
11. Что такое линия регрессии, каким методом она строится?
12. Что показывает коэффициент R в итоговой статистике регрессионного анализа?
13. Поясните термин «метод многомерной классификации».
14. Объясните основные различия между кластеризацией посредством иерархического кластер-анализа и методом К-средних.
15. Каким образом кластер-анализ может использоваться при изучении имиджа политических лидеров?
16. Какова основная задача, решаемая посредством дискриминантного анализа? Дайте определение дискриминантной функции.
17. Назовите три класса задач, решаемых с помощью факторного анализа. Конкретизируйте понятие «фактор».
18. Дайте характеристику трем основным методам проверки качества модели в факторном анализе (критерий Кайзера, критерий «осыпи», матрица воспроизведенных корреляций).
19. Раскройте понятия «факторная нагрузка», «собственное значение фактора», «факторное значение».
20. В чем суть процедуры вращения факторных переменных с точки зрения содержательной интерпретации итоговой статистики факторного анализа?
Еще по теме Факторный анализ:
- Факторные рынки и особенности их экономического анализа
- Виды факторных доходов
- Тема 7. Факторные доходы в рыночной экономике
- 7.5. Прибыль как факторный доход
- 82. Поясните связь издержек с факторными преимуществами в теории Э. Хекшера–Б. Олина.
- Міжнародна міграція фінансових ресурсів у контексті факторного аналізу
- Міжнародна міграція фінансових ресурсів у контексті факторного аналізу
- К факторным услугам относятся платежи, связанные с …
- 25. Ж.-Б. Сэй вошел в историю экономической науки как автор факторной теории стоимости. Каковы основные положения этой теории?
- ВНЕШНИЙ АНАЛИЗ И АНАЛИЗ ПОКУПАТЕЛЕЙ
- Технико-экономический анализ строительного проекта и анализ обеспечения по запрашиваемому строительному кредиту
- 2. Методы анализа ситуации